Аксиома принадлежности. Аксиома порядка.
Аксиома равенства отрезков и углов.
Аксиома параллельных прямых.
Аксиома непрерывности (Архимеда).
Как мы уже отмечали выше, существует набор аксиом – свойств, которые рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательства. Теперь, после введения некоторых основных понятий и определений, мы можем рассматривать следующий достаточный набор аксиом, обычно используемых в планиметрии.
Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.
Аксиома порядка. Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.
Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.
Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда). Для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1 , A2 ,…, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки AA1 , A1A2 ,…, An - 1An конгруэнтны отрезку
CD, a точка B лежит между A и An .
Следует подчеркнуть, что замена одной из этих аксиом на другую, превращает её в теорему, уже требующую доказательства. Так, вместо аксиомы параллельных прямых можно использовать в качестве аксиомы свойство углов треугольника («сумма углов треугольника равна 180º »). Но тогда необходимо доказывать аксиому о параллельных прямых.