Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр. Биссектриса угла.

Окружность. Круг. Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.

Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.

Длина дуги. Радиан. Соотношения между элементами круга.

 

 

Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.

 

П р и м е р  1.  Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое

                          место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от

                          концов этого отрезка. Пусть  PO  AB и  AO = OB :

 

 

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

 

П р и м е р  2.  Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

 

П р и м е р  3.  Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество

                          всех точек), равноудалённых от её центра ( на рис. показана одна

                          из этих точек – А ).

 

 

 

 

Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается  r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности ( AmB, рис.39 ) называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и Nокружности ( рис.39 ), называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности - хордой.

 

 

 

Хорда, проходящая через центр круга ( например, BC, рис.39 ), называется диаметром и обозначается  d  или  D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам ( d = 2 r ).

 

Касательная. Предположим, секущая PQ ( рис.40 ) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка Kназывается точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

 

Свойства касательной.

 

1)  Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания ( AB  OK, рис.40 ) .

 

2)  Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны ( рис.41 ).

 

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB ( рис.42 ). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой AmB и двумя радиусами OA и OB, проведенными к концам этой дуги ( рис.43 ).

 

 

Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ( AOB, рис.43 ). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки ( BAC, рис.44 ). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки ( BAC, рис.41 ).

 

Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу  r и соответствующему центральному углу   :

 

 

l =  r

 

Таким образом, если мы знаем длину дуги  l  и радиус  r, то величина соответствующего центрального угла   может быть определена их отношением:

 

 = l / r .

 

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если  l = r,  то   = 1, и мы говорим, что угол     равен 1 радиану ( это обозначается:   = 1 рад ). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов:  радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43 ),  у которого длина дуги равна её радиусу ( AmB = AO, рис.43 ). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C  может быть выражена следующим образом:

 

C = 2r,

 

где    определяется как отношение  C  к диаметру круга 2r :

 

 =  C / 2 r .

 

  - иррациональное число; его приближённое значение  3.1415926…

С другой стороны, 2 - это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

 

p  2l + ( 2l – L ) / 3 ,

 

где ( см. рис.42 ):  p – длина дуги ACB;  l – длина хорды AC;  L – длина хорды AB. Если дуга содержит не более чем 60º, относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

 

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол (  ABC, рис.45 ) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AmC (  AOC, рис.45 ). Поэтому, все вписанные углы ( рис.45 ), опирающиеся на одну и ту же дугу ( AmC, рис.45 ), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга ( AmC, рис.45 ), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается ( в нашем случае AmC ).

 

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (APB, AQB, …, рис.46 ), прямые ( Докажите это, пожалуйста! ).

Угол (AOD, рис.47 ), образованный двумя хордами ( AB и CD ), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами:  ( AnD + CmB ) / 2 .

 

 

Угол (AOD, рис.48 ), образованный двумя секущими ( AO и OD ), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами:  ( AnD – BmC ) / 2.

Угол  (DCB, рис.49 ), образованный касательной и хордой ( AB и CD ), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него:  CmD / 2.

Угол (BOC, рис.50 ), образованный касательной и секущей ( CO и BO ), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: ( BmC – CnD ) / 2 .

 

 

Описанный угол (AOC, рис.50 ), образованный двумя касательными ( CO и AO ), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами:  ( ABC – CDA ) / 2 .

Произведения отрезков хорд ( AB и CD, рис.51 или рис.52 ), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть ( рис.50 ): OA² = OB · OD ( докажите! ). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

 

Хорда ( AB, рис.53 ), перпендикулярная диаметру ( CD ), делится в их точке пересечения O пополам:  AO = OB.

( Попробуйте доказать это! ).