Подобные тела. Зеркально подобные тела и фигуры.

 

 

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения ( или уменьшения ) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела ( фигуры )зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого. Например, картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

 

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы ( линейные и двугранные ) равны.

В подобных телах  многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

   

Если два тетраэдра ( две треугольные пирамиды ) имеют соответственно пропорциональные рёбра ( или соответственно подобные грани ), то они подобны или зеркально подобны. Например, если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй. Эта теорема не имеет места для многогранников с бо’льшим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед. 

 

Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.  Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

 

Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответ-ствующих отрезков.

 

Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответ-ствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

 

П р и м е р.   Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см  вмещает  0.5 литра

                       воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмеща- 

                       ющая 4 литра воды ?

 

Р е ш е н и е .

Поскольку чашки – подобные цилиндры, то отношение их объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков ( в нашем случае – высот и диаметров чашек ). Следовательно, высота  h  новой чашки находится из отношения:   ( h / 10 ) 3 =  4 / 0.5, то есть  h 3 = 8 · 10 3,  откуда  h = 20 см;   аналогично, для диаметра  d  получим:   ( d / 8 ) 3 =  4 / 0.5 ,  то есть  d 3  = 8 · 8 3,  откуда  d = 16 см .