| Случай1. |
Заданы три стороны a, b, c . Найти углы A, B, C. По теореме косинусов находим один из углов:  второй угол находим по теореме синусов:  третий угол находится по формуле: C = 180° – ( A + B ). |
| П р и м е р . |
Заданы три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы. |
| Р е ш е н и е . |
|
| Случай2. |
Дано: две стороны a и b и угол C между ними. Найти сторону c и углы A и B. По теореме косинусов находим сторону c : а затем по теореме синусов – угол A :  здесь необходимо подчеркнуть, что A – острый угол, если b / a > cos C, и тупой угол, если b / a < cos C. Третий угол B = 180° - ( A + C ). |
| Случай3. |
Заданы любые два угла и сторона. Найти третий угол и две другие стороны. Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле: A+ B+ C = 180°, и тогда используя теорему синусов, мы найдём две другие стороны. |
| Случай4. |
Даны две стороны a и b и угол B, противоположный одной из них. Найти сторону c и углы A и C. Сначала по теореме синусов найдём угол A:
1) a > b ; a · sin B > b – здесь решения нет; 2) a > b ; a · sin B = b – здесь одно решение, A – прямой угол; 3) a > b ; a · sin B < b < a – здесь два решения: A может быть либо острым, либо тупым углом; 4) a
После нахождения угла A, найдём третий угол: C = 180° - ( A+ B ). Если A может иметь два значения, то и C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону:
Если угол C имеет два значения, то и сторона c имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника. |
b – здесь одно решение, A – острый угол.
| П р и м е р . | Дано: a = 5, b = 3, B = 30°. Найти сторону c и углы A и C. |
| Р е ш е н и е . |
Здесь: a > b и a sin B < b. ( Проверьте, пожалуйста! ).Тогда согласно случаю 3 здесь возможны два решения: |
