Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция  f ( x ), тогда для любого x  [ a, b ] существует функция: 
 

задаваемая  интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

П р и м е р .

Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону:   f ( x ) = 6x2 + 5 при  x  0. По какому закону изменяется работа этой силы ?

Р е ш е н и е.

Работа силы  f ( x ) на отрезке [ 0 , x ] прямолинейного пути равна:   Таким образом, работа изменяется по закону:  F ( x ) = 2x 3 + 5x .

Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x  [ a, b ]

F' ( x ) = f ( x ) .

Проверьте это свойство на приведенном примере.