Подобие плоских фигур. Отношение подобия.

Подобие многоугольников. Признаки подобия треугольников.

 

 

Подобие плоских фигур. Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными. Например, картина и её фотография – это подобные фигуры.

В двух подобных фигурах любые соответственные углы равны, то есть, если точки A, B, C, D одной фигуры соответствуют точкам  a, b, c, d  другой фигуры, то  ABC =  abc ,  BCD =  bcd  и т.д.

Два многоугольника ( ABCDEF  и  abcdef, рис.37 ) подобны, если их углы равны:   A =  a,  B =  b, …,  F =  f ,  а стороны пропорциональны:

 

 

 

Для подобия многоугольников недостаточно только пропорциональности сторон. Например, квадрат  ABCD  и ромб  abcd  ( рис.38 ) имеют пропорциональные стороны: каждая сторона квадрата вдвое больше, чем у ромба,

однако их диагонали не пропорциональны.

 

 

 

 

Но для подобия треугольников достаточно пропорциональности их сторон.

 

Признаки подобия треугольников.  Два треугольника подобны, если:

 

1)	все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов);
2)	все их стороны пропорциональны;
3)	две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между  этими сторонами, равны.

 

Два прямоугольных треугольника подобны, если:

1)	их катеты пропорциональны;
2)	кае катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;
3)	два угла одного треугольника равны двум углам другого.

 

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий ( например, сторон ). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров ( или радиусов ).

 

 

 

П р и м е р .

Круглый металлический диск диаметром  20 см  весит 6.4 кг.  Сколько весит круглый металлический диск диаметром 10 см?

Р е ш е н и е .

Так как малый диск имеет ту же толщину и состоит из того же материала, что и большой, то их веса пропорциональны их площадям, а отношение площади малого диска к площади большого равно:                                                                                                      ( 10 / 20 ) 2 = 0.25 .                                                                              Следовательно, малый диск весит  6.4 · 0.25 = 1.6 кг.