Площади плоских фигур: квадрат, прямоугольник, ромб,
параллелограмм, трапеция, четырёхугольник,
прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник,
равносторонний треугольник, произвольный треугольник,
многоугольник, правильный шестиугольник,
круг, сектор, сегмент круга. Формула Герона.
Произвольный треугольник. a, b, c – стороны; a – основание; h – высота;
A, B, C – углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.
Последнее выражение называется формулой Герона.
Многоугольник, площадь которого нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько треугольников. Многоугольник, описанный около круга ( рис.67 ), может быть разделён прямыми, идущими из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:
В частности, эта формула справедлива для любого правильного многоугольника.
Правильный шестиугольник. a – сторона.
Круг. D – диаметр; r – радиус.
Сектор ( рис.68 ). r – радиус; n – величина центрального угла в градусах; l – длина дуги.
Сегмент ( рис.68 ). Площадь сегмента определяется как разность между площадями сектора AmBO и треугольника AOB. Кроме того, есть приближённая формула для площади сегмента:
где a = AB ( рис.68 ) – основание сегмента; h – его высота ( h = r – OD ). Относительная погрешность этой формулы: при AmB = 60° – около 1.5% ; при AmB = 30° - ~ 0.3%.
П р и м е р . Вычислить площади сектора AmBO ( рис.68 ) и сегмента AmB
при следующих данных: r = 10 см, n = 60°.
Р е ш е н и е . Площадь сектора:
Площадь правильного треугольника AOB:
Отсюда, площадь сегмента:
S = S1 – S2 = 52.36 – 43.30 = 9.06 см 2 .
Заметим, что в правильном треугольнике AOB:
AB = AO = BO = r, AD = BD = r / 2 , и поэтому высота OD
в соответствии с теоремой Пифагора равна:
Тогда, по приближённой формуле получим:
