Первообразная. Неопределённый интеграл.

Постоянная интегрирования.

Первообразная. Непрерывная функция  F ( x ) называется  первообразной для функции  f ( x ) на промежутке  X ,  если для каждого   

F’ ( x ) = f ( x ).

П р и м е р . Функция  F ( x ) = x ³ является первообразной для функции

                        f ( x ) = 3x ²  на интервале  ( - , +  ) , так как

                                               F’ ( x ) = ( x ³ )’  = 3x ² =  f ( x )

                       для всех  x  ( - , +  ) .

                       Легко проверить, что функция x ³ + 13 имеет ту же производную

                       3x ², поэтому x ³ + 13 также является первообразной для функции

                       3x ²  для всех   x  ( - , +  ) . Ясно, что вместо 13 можно взять

                       любую постоянную.

Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.

Неопределённый интеграл функции  f ( x ) на промежутке  X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:

где  C  – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.