Числовые последовательности. Формула общего члена.

Предел числовой последовательности. Сходящаяся и

расходящаяся последовательности. Ограниченная

 последовательность. Монотонная последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.

Некоторые замечательные пределы.

 

Последовательности.  Рассмотрим ряд натуральных чисел:

 

1,  2,  3, … ,  n –1,  n, … .

 

Если заменить каждое натуральное число  n  в этом ряду некоторым числом  u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:          

 

u₁ ,   u₂ ,   u₃ , …,   u_n - 1 ,   u_n  , …,  кратко обозначаемый { u_n }  

 

и называемый числовой последовательностью. Величина  u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой  u_n = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру  n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

 

П р и м е р ы    числовых последовательностей:

 

                         1,  2,  3,  4,  5, … -  ряд натуральных чисел ;

 

                         2,  4,  6,  8,  10, … - ряд чётных чисел;

 

                         1.4,  1.41,  1.414,  1.4142, … - числовая последовательность

                                                                            приближённых  значений 

                                                                            с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  при увеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого   > 0  можно найти такое числоN,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a -  , a +  ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n  |  M  для всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства). 

Основные свойства пределов.  Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n } и { v_n }  - две сходящиеся последовательности, то:

 

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n }, { w_n } удовлетворяют неравенствам 

 

Некоторые замечательные пределы.